这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋,国王输了,国王问阿基米德要什么奖赏?阿基米德对国王说：“只要在棋盘上第一个放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放十六粒……按

Question

这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋,国王输了,国王问阿基米德要什么奖赏?阿基米德对国王说：“只要在棋盘上第一个放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放十六粒……按这个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食,就随口答应了,结果国王输了.
（1）我们知道,国际象棋共有64个格子,则这64格中应放多少米?（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的末位数字是多少?（简要写出探究过程）
（3）求出国王输给了阿基米德多少粒米.

Answer 1

（1 ）第64 个格子,应该底数是2 ,指数63 ,所以为2 63 ；
（2 ）∵2 1 =2 ,2 2 =4 ,2 3 =8 ,2 4 =16 ,2 5 =32 …
∵63 ÷4=20 …3 ,
∴2 63 的末位数字与2 3 的末位数字相同,是8 ；
（3 ）设x=1+2+2 2 + …+2 63 ①．
等式两边同时乘以2 ,得2x=2+2 2 +2 3 + …+2 64 ②
②- ①,得x=2 64 -1 ．
答：国王输给阿基米德的米粒数为2 64 -1 ．