（文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．对于数列{an}（1）当{an}满足an+1-an=d（常数）且an+1an＝q（常数），证明：{an}为

Question

（文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．
对于数列{a_n}
（1）当{a_n}满足a_n+1-a_n=d（常数）且(an+1)/(an)＝q（常数），证明：{a_n}为非零常数列．
（2）当{a_n}满足a_n+1²-a_n²=d'（常数）且(a2n+1)/(a2n)＝q′（常数），判断{a_n}是否为非零常数列，并说明理由．
（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广，写出推广后的一个正确结论（不用说明理由）．

Answer 1

（1）（法一）

an+1−an＝d

(an+1)/(an)＝q

⇒qa_n-a_n=d⇒（q-1）a_n=d
当q=1时，∵a_n≠0，所以d=0；
当q≠1时，⇒an＝(d)/(q−1)是一常数，矛盾，所以{a_n}为非零常数列； （5分）
（法二）设a_n=a₁+（n-1）d，则有：(an+1)/(an)＝(a1+(n+1−1)d)/(a1+(n−1)d)＝q，
即a₁+nd=（a₁q-qd）+qdn（2分）
所以

d＝qd

a1＝qa1−qd

，解得

d＝0

q＝1

．由此可知数列{a_n}为非零常数列； （5分）
（2）记a_n²=b_n，由（1）证明的结论知：{a_n²}为非零常数列．（2分）
显然，{a_n²}为非零常数列时，{a_n}不一定为非零常数列，如：非常数数列a_n=（-p）ⁿ（p为大于0的正常数）和常数列a_n=p（p为非零常数）均满足题意要求．（5分）
（3）若{a_n}满足a_n+1^m-a_n^m=d'（常数）且(amn+1)/(amn)＝q′（常数），则当m为奇数时，{a_n}必为非零常数列；当m为偶数时，{a_n}不一定为非零常数列．
或者：设a_n^m=a₁^m+（n-1）d，即a_n^m=A+Bn，则(amn+1)/(amn)＝((A+(n+1)B)/(A+nB))m＝q′，即(1+(B)/(A+Bn))m对一切n∈N^*均为常数，则必有B=0，即有a_n^m=A，当m为奇数时，an＝

m

A

，当m为偶数时，an＝

m

A

(A＞0)或者an＝

m

(−A)

 i (A＜0).3°{a_n}满足a_n+1^m-a_n^m=d'（常数）且(aln+1)/(aln)＝q′（常数），且m、l为整数，
当m、l均为奇数时，{a_n}必为非零常数列；否则{a_n}不一定为常数列．
事实上，条件(aln+1)/(aln)＝q′（正常数）可以转化为(amn+1)/(amn)＝(q′)(m)/(l)（常数），整个问题转化为2°，结论显然成立．（结论5分）
或者：设a_n^m=a₁^m+（n-1）d，即a_n^m=A+Bn，当m为奇数时，有an＝

m

A+Bn

，则(aln+1)/(aln)＝((A+(n+1)B)/(A+nB))(l)/(m)＝q′，即(1+(B)/(A+Bn))(l)/(m)对一切n∈N^*均为常数，则必有B=0，即有a_n^m=A，则an＝

m

A

，当m为偶数时，如反例：a_n=（-1）ⁿn∈N^*，它既满足m次方后是等差数列，又是l（不管l为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.4°{a_n}满足a_n+1^m-a_n^m=d'（常数）且(aln+1)/(aln)＝q′（常数），m、l为有理数，q′＞0，则{a_n}必为非零常数列；否则{a_n}不一定为常数列．
证明过程同3°（结论6分）5°{a_n}满足a_n+1^m-a_n^m=d'（常数）且(aln+1)/(aln)＝q′（常数），且m、l为实数，q′＞0，{a_n}是不等于1的正数数列，则{a_n}必为非零且不等于1的常数列；否则{a_n}不一定为常数列．
事实上，当q′＞0，m、l为实数时，条件(aln+1)/(aln)＝q′同样可以转化为(amn+1)/(amn)＝(q′)(m)/(l)，记a_n^m=b_n，由第（1）题的结论知：{b_n}必为不等于1的正常数数列，也即{a_n^m}为不等于1的正常数数列，an＝

m

bn

，从而{a_n}也是不等于1的正常数数列．
（结论7分）