（本题12分）如图，抛物线y=ax2＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）。点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且

Question

（本题12分）如图，抛物线 y = ax ² ＋ bx ＋ c 交 x 轴于点 A （－3，0），点 B （1，0），交 y 轴于点 E （0，－3）。点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC 的中点，直线 l 过点 F 且与 y 轴平行。直线 y =－ x ＋ m 过点 C ，交 y 轴于 D 点.
⑴求抛物线的函数表达式；
⑵点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H ，与抛物线交于     点 G ，求线段 HG 长度的最大值；
⑶在直线 l 上取点 M ，在抛物线上取点 N ，使以点 A ， C ， M ， N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的坐标.

Answer 1

（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）（x+3）

∵抛物线交y轴于点E（0，-3），将该点坐标代入上式，得a=1
∴所求函数表达式为y=（x-1）（x+3），
即y=x ² +2x-3；
（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（-3，0），点B坐标（1，0），
∴点C坐标（5，0），
∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5，
∴直线CD的函数表达式为y=-x+5，
设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t ² +2t-3），
∵点K为线段AB上一动点，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t ² +2t-3）=-t ² -3t+8=-（t+ ） ² + ，
∵-3＜- ＜1，
∴当t="-" 时，线段HG的长度有最大值 ；
（3）∵点F是线段BC的重点，点B（1，0），点C（5，0），
∴点F的坐标为（3，0），
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3，
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n ² +2n-3），
∵点A（-3，0），点C（5，0），
∴AC=8，
分情况讨论：
①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．
当点N在点M的左侧时，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N点的坐标为（-5，12），
当点N在点M的右侧时，MN=n-3，
∴n-3=8，
解得n=11，
∴N点的坐标为（11，140），
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0）
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x=-1代入y=x ² +2x-3，得y=-4，
过点N，B作直线NB交直线l于点M，
在△BPN和△BFM中，
∠NBP=∠MBF，
BF=BP，
∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标（-1，-4）的点N符合条件，
∴当N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

略