（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点。（1）求异面直线AE与A1C所成的角；（2）若G为C1C上一点，且EG⊥A1C，试确定点G的位置；（3）在

Question

（本题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 中， E是BC的中点。
（1）求异面直线AE与A ₁ C所成的角；
（2）若G为C ₁ C上一点，且EG⊥A ₁ C，试确定点G的位置；

 

  （3）在（2）的条件下，求二面角A ₁ -AG-E的大小

 

Answer 1

（1）取B ₁ C ₁ 的中点E ₁ ，连A ₁ E ₁ ，E ₁ C，则AE∥A ₁ E ₁ ，∴∠E ₁ A ₁ C是异面直线A
与A ₁ C所成的角。设 ，则

中， 。

 

所以异面直线AE与A ₁ C所成的角为 。  ----- -------------4分

   （2）．由（1）知，A ₁ E ₁ ⊥B ₁ C ₁ ,
又因为三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 是直三棱柱
⊥BCC ₁ B ₁ ,又 EG⊥A ₁ C   CE ₁ ⊥EG．
∠ =∠GEC  ~
即 得
所以G是CC ₁ 的中点             ------- --------------------- --8分
（3）连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC．
又 平面ABC⊥平面ACC ₁ A ₁    EP⊥平面ACC ₁ A ₁ 
而PQ⊥AG   EQ⊥AG． ∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
由EP=a,AP=a,PQ= ,得
所以二面角C-AG-E的平面角是   ，而所求二面角 是二面角C-AG-E的补角，故二面角 的平面角是   ------- -----------12分

略