求目标函数u=x^2+(y-5/2)^2在约束条件x^2=y^3下的最值,解释如何才能找出最大值点（x,y)=(0,0)

Question

求目标函数u=x^2+(y-5/2)^2在约束条件x^2=y^3下的最值,
解释如何才能找出最大值点（x,y)=(0,0)

Answer 1

u=x^2+(y-5/2)^2是圆点在（0,5/2）点的半径为√u的圆；x^2=y^3就是|x|的2/3幂函数；所以,目标函数只有最小值,不会有最大值.就是圆与x的2/3幂函数相切的情形,u就是此时的圆的半径的平方.
设切点是（a,b）,则经过（0,5/2）和（a,b）两点的直线 L 的斜率为：-3（3√a）/2【-3/2倍的a立方根】,则L的方程为：
y-5/2 = -3（3√a）x/2
且b=3√a^2【a的平方的立方根】,所以,（a,b）点即为：（a,3√a^2）带入L的方程,并令A=3√a ,得
A^2-5/2 = -3A^4/2
解得 A^2 = 1,则,a = 1,b = 1,进而知,当（x,y）=（±1,1）时,u达到最小值：13/2