一、试将1至100这100个自然竖排成一排,那么任意相邻三个数的和中,至多有多少个奇数?至少有多少个奇数?二、对一个自然数操作如下：如果是偶数则除以2,如果是奇数则加1,如此进行直到变为1

Question

一、试将1至100这100个自然竖排成一排,那么任意相邻三个数的和中,至多有多少个奇数?至少有多少个奇数?
二、对一个自然数操作如下：如果是偶数则除以2,如果是奇数则加1,如此进行直到变为1为止,求最多经过9次操作变为1的数有多少个?

Answer 1

1.
奇+偶+偶=奇
奇+奇+奇=奇
偶+偶+偶=偶
奇+奇+偶=偶
从1--100,中,奇数和偶数各有50个
1）和中,奇数最多的情况
把这100个数,按照：
偶偶奇偶偶奇.排列
把50个偶数用完时,只用了25个奇数
偶偶奇偶偶奇.偶偶奇奇奇奇.
这100个自然数,任意相邻的三个数,一共有：
100-3+1=98组
只有中间的一组偶偶奇加起来为偶数,
和为奇数的,最多有：98-1=97个
2）和中,奇数最少的情况
按照：奇奇偶奇奇偶.排列
奇数用完时,偶数只用了25个,
奇奇偶奇奇偶.奇奇偶偶偶偶.
任意相邻3个数的和,一共有100-3+1=98个
只有中间的一组奇偶偶,和为奇数
所以和为奇数的,至少有1个.
综上,任意相邻三个数的和中,至多有97个奇数,至少有1个奇数.
2.
倒推.
经1次变化的,只能是2
经2次变化的,可以是4
经3次变化的,可以是3,8
经4次变化的,可以是6,7,16
经5次变化的,可以是5,12,14,15,32
经6次变化的,可以是10,11,24,13,28,30,31,64
经7次变化的,可以是9,20,22,23,48,26,27,56,29,60,62,63,128
经8次变化的,可以是18,19,40,21,44,46,47,96,25,52,54,55,112,58,59,120,61,124,126,127,256
经9次变化的,可以是17,36,38,39,80,42,43,88,45,92,94,95,192,50,51,104,53,108,110,111,224,57,116,118,119,240,122,123,248,125,252,254,255,512
一共有：
1+1+2+3+5+8+13+21+34=88个
其实,这个数列是有规律的：
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13
8+13=21
13+21=34
.
所以再多几次变化,也可以用这个规律来计算,