（2014•南京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在直线AC上，斜边中点为M（2，0）．（1）求BC边所在直线的方程；（2）若动圆P过点N（-2，0），

Question

（2014•南京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在直线AC上，斜边中点为M（2，0）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）若动圆P过点N（-2，0），且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程．

Answer 1

（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为-3．
故AC边所在直线的方程为y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0．
设C为（x₀，-3x₀-2），
因为M为BC中点，
所以B（4-x₀，3x₀+2）．
点B代入x-3y-6=0，解得x₀=-(4)/(5)，所以C（-(4)/(5)，(2)/(5)）．
所以BC所在直线方程为：x+7y-2=0．
（2）因为Rt△ABC斜边中点为M（2，0），所以M为Rt△ABC外接圆的圆心．
又AM=2√(2)，从而Rt△ABC外接圆的方程为（x-2）²+y²=8．
设P（a，b），因为动圆P过点N，所以该圆的半径r=√((a+2)2+b2)，圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²．
由于⊙P与⊙M相交，则公共弦所在直线的方程m为：（4-2a）x-2by+a²+b²-r²+4=0．
因为公共弦长为4，r=2√(2)，所以M（2，0）到m的距离d=2，即(|2(4−2a)+a2+b2−r2+4|)/(2√((2−a)2+b2))=2，
化简得b²=3a²-4a，所以r=√((a+2)2+b2)=

作业帮用户 2017-09-19 举报

问题解析

（1）先求出AC边所在直线的方程，再求出B，C的坐标，即可求BC边所在直线的方程；
（2）求出Rt△ABC外接圆的方程，设出动圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由于⊙P与⊙M相交，则公共弦所在直线的方程m为：（4-2a）x-2by+a²+b²-r²+4=0，利用公共弦长为4，可得r=√((a+2)2+b2)=√(4a2+4)，即可求动圆P中半径最小的圆方程．

名师点评

本题考点：

直线和圆的方程的应用．

考点点评：

本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．

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