（2014•鄞州区模拟）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y=ax2于点C（4，3），且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y=k′x+b′交坐标轴于D、E两点，

Question

（2014•鄞州区模拟）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y=ax²于点C（4，3），且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y=k′x+b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是

（(64)/(9)，(256)/(27)）

（(64)/(9)，(256)/(27)）

．

Answer 1

∵抛物线y=ax²经过C（4，3），
∴抛物线的解析式为y=(3)/(16)x²，
∵C是线段AB的中点，
∴B（0，6），A（8，0），
∵△AOB∽△DOE，
∴(OD)/(OE)＝(OB)/(OA)=(6)/(8)=(3)/(4)，
设点D的坐标为（0，a），
则点E的坐标为（(4)/(3)a，0），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（(2)/(3)a，(a)/(2)），
∵点P在抛物线y=(3)/(16)x²上，
∴(a)/(2)=(3)/(16)×（(2)/(3)a）²，
解得：a=6，
∴点P的坐标为：（4，3）（不符合要求，舍去）．
设D在x轴上，E在y轴上，
∵△AOB∽△DOE，
∴(OD)/(OE)＝(OB)/(OA)=(6)/(8)=(3)/(4)，
设点D的坐标为（a，0），
则点E的坐标为（0，(4)/(3)a），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（(a)/(2)，(2)/(3)a），
∵点P在抛物线y=(3)/(16)x²上，
∴(2)/(3)a=(3)/(16)×（(1)/(2)a）²，
解得：a=(128)/(9)，
∴点P的坐标为：（(64)/(9)，(256)/(27)）．
故答案为：（(64)/(9)，(256)/(27)）．