在一个直角三角形内部作一个矩形,矩形的一边落在斜边,另两个点分别落在两直角边上,若设矩形较长的一边为x,面积为y,那么矩形的最大面积为多少?这是二次函数的应用题,直角三角形两直角

Question

在一个直角三角形内部作一个矩形,矩形的一边落在斜边,另两个点分别落在两直角边上,若设矩形较长的一边为x,面积为y,那么矩形的最大面积为多少?
这是二次函数的应用题,
直角三角形两直角边分别为30cm，40cm

Answer 1

解:设此三角形为ABC,AC=40,BC=30,则斜边AB=50.
作CH垂直AB于H,由面积关系可知AB*CH=AC*BC,CH=24.
设矩形在AC上的顶点为D,AB上的边为EF,BC上的顶点为G,即矩形为DEFG.
设DG=X,则DE=Y/X.
⊿CDG∽⊿CAB,则对应高之比等于相似比,即(CH-DE)/CH=DG/AB.
(24-Y/X)/24=X/50,Y=(-12/25)X^2+24X=(-12/25)*(X-25)^2+300.
即当X=25cm时,矩形面积有最大值300cm².