已知函数f(x)＝1−m+lnxx，m∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f ( x )＝(1−m+lnx)/(x)，m∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由导数运算法则知，f′ ( x )＝(m−lnx)/(x2)．
令f'（x）=0，得x=e^m．（3分）
当x∈（0，e^m）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（e^m，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=e^m时，f（x）有极大值，且极大值为f（e^m）=e^-m．（6分）
（Ⅱ）欲使lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，只需(lnx)/(x)＜a在（0，+∞）上恒成立，
等价于只需(lnx)/(x)在（0，+∞）上的最大值小于a．（9分）
设g ( x )＝(lnx)/(x)（x＞0），由（Ⅰ）知，g（x）在x=e处取得最大值(1)/(e)．
所以a＞(1)/(e)，即a的取值范围为( (1)/(e) ， +∞ )．（13分）