用逆矩阵的结构式证明克莱默法则

Question

用逆矩阵的结构式证明克莱默法则

Answer 1

当 |A| ≠ 0 时 A可逆
由 AX=B 知 X = A^-1B
因为 A^-1 唯一,所以 X 唯一,即方程组有唯一解
再由 A^-1 = (1/|A|)A*
得 X=(1/|A|)A*B
所以 xi = (1/|A|) * (A*的第i行的元素 与B 的元素 的乘积之和)
= (1/|A|) * |Ai| (A*的第i行的元素 与B 的元素 的乘积之和 -- 展开定理)