①设A=（α1，α2，α3）是5×3实矩阵，r（A）=3．又设实向量μ1，μ2构成ATX=0的基础解系，证明（α1，α2，α3，μ1，μ2）是可逆矩阵．②A=102−1−412−2−10−11111，求

Question

①设A=（α₁，α₂，α₃）是5×3实矩阵，r（A）=3．又设实向量μ₁，μ₂构成A^TX=0的基础解系，证明（α₁，α₂，α₃，μ₁，μ₂）是可逆矩阵．
②A=

1	0	2   −1   −4
1	2	−2   −1     0
−1	1	1     1     1

，求AX=0的单位正交基础解系．

Answer 1

①设：k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄μ₁+k₅μ₂=0，（1）
在（1）式两端左乘A^T，可得：
A^T（k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄μ₁+k₅μ₂）=0，
即：
k₁A^Tα₁+k₂A^Tα₂+k₃A^Tα₃+k₄A^Tμ₁+k₅A^Tμ₂=0．（2）
由于μ₁，μ₂构成A^TX=0的基础解系，
因此：A^Tμ₁=A^Tμ₂=0，代入（2）可得：
k₁A^Tα₁+k₂A^Tα₂+k₃A^Tα₃=0，
因为：r（A）=3，
所以：k₁=k₂=k₃=0，
代入（1）可得：k₄μ₁+k₅μ₂=0，
再次由于μ₁，μ₂构成A^TX=0的基础解系，
所以：k₄ =k₅=0，
综上，k₁=k₂=k₃=k₄ =k₅=0．
所以，向量组α₁，α₂，α₃，μ₁，μ₂是线性无关的，
从而，（α₁，α₂，α₃，μ₁，μ₂）是可逆矩阵．
②因为
A=

1	0	2	−1	−4
1	2	−2	−1	0
−1	1	1	1	1

→

1	0	2	−1	−4
0	2	−4	0	4
0	1	3	0	−3

→

1	0	2	−1	−4
0	2	−4	0	4
0	0	5	0	−5

作业帮用户 2017-10-29 举报

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