设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f（x）≠0，x∈（a，b），若f（a）=f（b）=0，证明对任意实数k，存在点ξ∈[a，b]，使得f′(ξ)f(ξ)=k．

Question

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f（x）≠0，x∈（a，b），若f（a）=f（b）=0，
证明对任意实数k，存在点ξ∈[a，b]，使得(f′(ξ))/(f(ξ))=k．

Answer 1

构造辅助函数F（x）=f（x）e^-kx，
则F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，
且F（a）=F（b）=0，
从而F（x）在[a，b]上满足罗尔定理的条件，
故存在ξ∈（a，b）使得F′（ξ）=0，
即：(f′(ξ))/(f(ξ))＝k．