如图所示，一长木板在水平地面上向右运动，某时刻将一相对于地面静止的物块（可视为质点）轻放到木板的右端．物块和木板的质量相等，物块与木板的上表面之间有恒定的动摩擦因数，

Question

如图所示，一长木板在水平地面上向右运动，某时刻将一相对于地面静止的物块（可视为质点）轻放到木板的右端．物块和木板的质量相等，物块与木板的上表面之间有恒定的动摩擦因数，长木板与地面之间也有恒定的动摩擦因数，且物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．已知物块放到木板上时木板的速度v₀=5.0m/s，物块放在木板上先做匀加速运动，经t₁=0.50s速度达到v₁=1.0m/s时开始做匀减速运动，最终物块停在木板上的中点位置．取重力加速度g=10m/s²，求：

（1）木板与地面间的动摩擦因数；
（2）木板的长度．

Answer 1

（1）物块放在木板上后先做加速运动，其加速度：
a₁=(v1)/(t1)=(1.0)/(0.50)m/s²=2m/s²，
设物块与木板间的动摩擦因数为μ₁，对物块，根据牛顿第二定律有，
f₁=μ₁mg=ma₁，
解得：μ₁=0.20，
在t₁=0.50s时，物块将由加速变为减速，表明其所受摩擦力的方向变化，即物块与木板间的相对运动方向发生变化，因此t₁=0.50时物块与木板的速度大小相等．
因此在t₁=0.50s时间内，木板的加速度：
a₂=(v0-v1)/(t1)=(5-1)/(0.50)m/s²=8.0m/s²，
设木板与地面间的动摩擦因数为μ₂，
对于木板在t₁=0.50时间内，根据牛顿第二定律有：
μ₁mg+μ₂2mg=ma₂，
解得：μ₂=0.30．
（2）物块在t₁=0.50s时间内的位移：
x₁₁=(v1t1)/(2)=(1.0×0.50)/(2)m=0.25m，
t₁=0.50s后做减速运动的加速度：
a₁′=μ₁g=2.0m/s²，
物块减速运动的位移：
x₁₂═(v1t1)/(2)=(1.0×0.50)/(2)m=0.25m，
设在t₁=0.50s后木板做减速运动的加速度a₂′，
根据牛顿第二定律有
μ₂2mg-μ₁mg=ma₂′
解得：a₂′=4m/s²，
由于 a₂′>a₁′，所以一定是木板的速度先减为0．
在整个运动过程中，物块向右的位移
x₁=x₁₁+x₁₂=0.50m，
木板在t₁=0.50s时间内的位移
x₂₁=

.

v

t₁=(v0+v1)/(2)t1=1.5m，
在t₁=0.50s后的减速运动到静止所过程的位移
x₂₂=(v21)/(2a′)=0.125m，
在整个运动过程中，木板向右的位移
x₂=x₂₁+x₂₂=1.625m，
设木板长度为L，
依题意应有：(1)/(2)L=x₂-x₁=1.125m，
解得：L=2.25m．
答：（1）木板与地面间的动摩擦因数为0.30；
（2）木板的长度为2.25m．