已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）判断f（x）的单调性，并证明；（2）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成

Question

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有(f(m)+f(n))/(m+n)＞0．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
（2）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₂＞x₁，则
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=(f(x2)+f(−x1))/(x2+(−x1))•（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）是增函数．  
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1对a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立⇔t²-2at+1≥1对任意a∈[-1，1]恒成立⇔t²-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立．
把y=t²-2at看作a的函数，
由a∈[-1，1]知其图象是一条线段，
∴t²-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立
⇔

t2−2×(−1)t≥0

t2−2×1×t≥0

，解得

t≤−2或t≥0

t≤0或t≥2

解得：t≤-2，或t=0，或t≥2．