已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．

Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

解（I）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x²-2x），故g（x）=-x²+2x．
（II）由g（x）+c≤f（x）-|x-1|可得：c≤2x²-|x-1|，
令F(x)＝

2x2−x+1，x≥1

2x2+x−1，x＜1

，
当x≥1时，F（x）_min=2；
当x＜1时，F(x)min＝F(−(1)/(4))＝−(9)/(8)，因此，实数c的取值范围为(−∞，−(9)/(8)]．