美国科学家发射的最新火星登陆器“凤凰”号（造价高达4.2亿美元）登陆火星后（下图为“凤凰”号着陆情景），为了测定火星的重力加速度，进行了如下实验．在一外方内圆的盒子内放一

Question

美国科学家发射的最新火星登陆器“凤凰”号（造价高达4.2亿美元）登陆火星后（下图为“凤凰”号着陆情景），为了测定火星的重力加速度，进行了如下实验．在一外方内圆的盒子内放一个小球，且小球质量与盒子质量相等均为m，通过计算机控制，给小球一个初速度υ，让小球在竖直平面内做圆周运动，结果发现小球在经过最高点时盒子刚好能离开地面，已知盒子内壁光滑，半径为R，火星的半径为R'试求：
（1）火星表面的重力加速度？
（2）“凤凰”号返回地球时，离开火星时的速度？（第一宇宙速度和第二宇宙速度的关系为υ2＝√(2)υ1）

Answer 1

（1）设小球经过最高点时速度为υ'，由最低点到最高点时，机械能守恒，则有(1)/(2)mυ′2+mg2R＝(1)/(2)mυ2
在最高点，由题意可知方盒对小球向下的作用力为mg，由牛顿第二定律得
F合＝mg+mg＝m(v′2)/(R)
联立解得：g＝(υ2)/(6R)…①
（2）设火星质量为M，则由万有引力定律可得在火星表面上有(GMm)/(R′2)＝mg…②
当“凤凰”号沿火星表面上附近运动时有(GMm)/(R′2)＝m(υ21)/(R′)…③
联立①②③解得：υ1＝υ√((R′)/(6R))
根据题意可知“凤凰”号返回地球时，离开火星时的速度必须满足第二宇宙速度，即“凤凰”号离开火星时的速度为：υ2＝√(2)υ1＝υ√((R′)/(3R))
答：（1）火星表面的重力加速度g＝(υ2)/(6R)．
（2））“凤凰”号返回地球时，离开火星时的速度υ√((R′)/(3R))．