约数个数为12且不大于200的自然数有几个

Question

约数个数为12且不大于200的自然数有几个

Answer 1

若一个数的标准分解式为p1^a1·p2^a2·...·pk^ak,则约数个数为(a1+1)(a2+1)...(ak+1).
列举12的分解式12 = 12 = 6·2 = 4·3 = 3·2·2
(1)12 = 12,由2^11 > 200排除.
(2)12 = 6·2,2^5 = 32,剩下一个素因子 ≤ 200/32,可为2^5·3,2^5·5.
3^5 > 200排除.
(3)12 = 4·3,2^3 = 8,剩下一个素因子平方 ≤ 200/8 = 25,可为2^3·3^2,2^3·5^2.
3^3 = 27,剩下一个素因子平方 ≤ 200/27,可为2^2·3^3.
2^2·5^3 > 200排除.
(4)12 = 3·2·2,2^2 = 4,剩下两个不同素因子乘积 ≤ 200/4 = 50,
可为2^2·3·5,2^2·3·7,2^2·3·11,2^2·3·13,2^2·5·7.
3^2 = 9,剩下两个不同素因子乘积 ≤ 200/9,可为2·3^2·5,2·3^2·7,2·3^2·11.
5^2 = 25,剩下两个不同素因子乘积 ≤ 200/25 = 8,可为2·3·5^2.
2·3·7^2 > 200排除.
合计14个.