如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P为线段A1B1上的动点，（Ⅰ）判断异面直线PN和AM所成的角的大小是否变化，并证明你的结论；（Ⅱ）当直线PN和

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P为线段A₁B₁上的动点，
（Ⅰ）判断异面直线PN和AM所成的角的大小是否变化，并证明你的结论；
（Ⅱ）当直线PN和平面ABC所成角最大时，试确定点P的位置．

Answer 1

（I）不变；
取AC的中点O，连接A₁O，NO，则A₁PNO是平行四边形，所以A₁O∥PN，
∵M是CC₁的中点，A₁ACC₁是正方形，
∴AM⊥A₁O，
∵AM⊥A₁P，A₁O∩A₁P=A₁，
∴AM⊥平面A₁PNO，
∴AM⊥A₁O，
∵A₁O∥PN，
∴AM⊥PN，
∴异面直线PN和AM所成的角为90°；
（II）设PD⊥AB，则PD⊥平面ABC，连接DN，则∠PND为直线PN和平面ABC所成角，
∴tan∠PND=(PD)/(DN)，
∴DN最小时，直线PN和平面ABC所成角最大，此时P为A₁B₁的中点．