设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ)数表如表1所示，若经过两次“操作

Question

设 是由 个实数组成的 行 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；
表1

1	2	3
	1	0	1

(Ⅱ) 数表 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数 的所有可能值；
表2

(Ⅲ)对由 个实数组成的 行 列的任意一个数表 ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.

Answer 1

设 是由 个实数组成的 行 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；
表1

1	2	3
	1	0	1

(Ⅱ) 数表 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数 的所有可能值；
表2

(Ⅲ)对由 个实数组成的 行 列的任意一个数表 ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.

(I) 详见解析； (II)  或  ；(Ⅲ) 能，理由详见解析．

试题分析：：（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）；（II）  每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，列出不等关系解得a，b范围进而分情况进行第二次操作；②如果操作第一行，易由条件得a的值；（III） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负数变为正数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加.
法1：

法2：

法3：

3分
(II) 每一列所有数之和分别为2，0， ，0，每一行所有数之和分别为 ，1;
①如果首先操作第三列，则

则第一行之和为 ，第二行之和为 ，
这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，
所以 或
当 时，则接下来只能操作第一行，

此时每列之和分别为
必有 ，解得
当 时，则接下来操作第二行
 
此时第

作业帮用户 2017-10-26 举报

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