问一个等差数列的问题已知数列An,A1等于5,An等于An-1加上2的n次方-1列式中的(n-1)为项数,其中n大于等于2求数列An加上Y的和除以2的n次方为等差数列,如果存在Y请求出Y的值,不存在说明理由

Question

问一个等差数列的问题
已知数列An,A1等于5,An等于An-1加上2的n次方-1列式中的(n-1) 为项数,其中n大于等于2求数列An加上Y的和除以2的n次方为等差数列,如果存在Y请求出Y的值,不存在说明理由

Answer 1

我不太看得懂你给的题目啊,
“An等于An-1加上2的n次方-1”
是指An=A(n-1)+(2^n)-1,还是指An=A(n-1)+2^(n-1)
如果是指第一种的话
那么先求An
由题可知：
An-A(n-1)=(2^n)-1
A(n-1)-A(n-2)=[2^(n-1)]-1
…………
A2-A1=(2^2)-1
把上式相加可得：An-A1=(2^2)+(2^3)+……+(2^n)-(n-1)
根据等比数列求和公式可知：
An-A1={(2^2)×[1-2^(n-1)]/(1-2)}-(n-1)=(2^2)×[2^(n-1)-1]-(n-1)
又因为A1＝5,所以An=2^(n+1)-n+2=2[2^(n)+1]-n
当n＝1时,代入上式可得：A1＝5
所以数列An的通项公式为：An=2×[2^(n)+1]-n
设Bn＝(An+Y)/[2^(n)]
所以B(n-1)=[A(n-1)+Y]/[2^(n-1)]
所以两式相减并化简可得：Bn-B(n-1)=(n-4－Y)/[2^(n)]
不是一个常数,所以数列Bn不是等差数列
如果“An等于An-1加上2的n次方-1”是指An=A(n-1)+2^(n-1)的话
先求数列An
因为An=A(n-1)+2^(n-1)
所以
A2-A1=2^1
A3-A2=2^2
A4-A3=2^3
…………
An-A(n-1)=2^(n-1）
上列式子相加得,
An-A1=2+2^2+……+2^(n-1）=2^(n)-2
所以An=2^(n) + 3
当n=1时,代入上式可知An＝5
所以数列An的通项公式为An=(2^n)+3
设Bn=(An+y)/(2^n)
=[2^(n) + 3 + Y]/(2^n)
=1+（3 + Y)/(2^n)
所以B(n-1)=1+(3+Y)/[2^(n-1)]
所以Bn-B(n-1)=(3+Y)×{1/(2^n)-1/[2^(n-1)]}＝(3+Y)×[-1/(2^n)]
要使上式为一个常数,所以Y＝－3