已知数列an满足a1=1,a2=2,a(n+2)=an+a(n+1)/2,(n∈N*)（1）令bn=a(n+1)-an,证明：bn是等比数列；（2）求an的通项公式

Question

已知数列an满足a1=1,a2=2,a(n+2)=an+a(n+1)/2,(n∈N*)
（1）令bn=a(n+1)-an,证明：bn是等比数列；（2）求an的通项公式

Answer 1

1)2a(n+2)=an+a(n+1) ∴2[a(n+2)-a(n+1)]=an-a(n+1)=-[a(n+1)-an] bn=a(n+1)-an,∴2b(n+1)=-bn,即b(n+1)/bn=-1/2 ∴{bn}是等比数列 2)b1=a2-a1=2-1=1,{bn}是首项为1,公比为-1/2的等比数列 ∴bn=1*(-1/2)^(n-1) ∴a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1) ∴an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2),a(n-1)-a(n-1)=(-1/2)^(n-3) …… a2-a1=(-1/2)^0 上面各式叠加得 an-a1=(-1/2)^0+……+(-1/2)^(n-3)+(-1/2)^(n-2) =[1-(-1/2)^(n-1)]/(1+1/2)=(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)] ∴an=a1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]=5/3-(2/3)*(-1/2)^(n-1)=5/3+(1/3)*(-1/2)^(n-2)