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如图,E、F分别是矩形ABCD的BC边和CD边上的点,且S△ABE=3,S△ECF=8,S△ADF=5,则矩形ABCD的面积为.

题目详情
如图,E、F分别是矩形ABCD的BC边和CD边上的点,且S△ABE=3,S△ECF=8,S△ADF=5,则矩形ABCD的面积为______.
▼优质解答
答案和解析
如图,
S△ABE=3,即
1
2
AB•BE=3,
S△ECF=8,即
1
2
EC•CF=8,
S△ADF=5,即
1
2
AD•DF=5,
∴BE•(DF+CF)=6,即BE•DF+BE•CF=6,①
(BE+EC)•DF=10,即BE•DF+EC•DF=10②
②-①得DF•EC-BE•CF=4,DF•EC=4+BE•CF③,
①+②得2BE•DF+BE•CF+EC•DF=16,
即2(6-BE•CF)+BE•CF+EC•DF=16④,
1
2
EC•CF=8可知,EC•CF=16,
则BE•FC=4,BE•DF=2,
即四边形AHMG的面积为2,
则S矩形ABCD=SABEG+SECFM+SAHFD-SAHMG=6+16+10-2=30.
故此题答案为30.
作EG⊥AD交AD于G,FH⊥AB交AB于H,FH与EG交于Q.
由已知条件和作图条件可知,
AD=BC=FH,AB=CD=EG,CE=FQ=DG,BE=QH=AG,DF=QG=AH.
AB•BE=3×2(1),
AD•DF=5×2(2),
CF•CE=CF•(BC-BE)=CF•BC-CF•BE=2×8(3),
CF•CE=(CD-DF)EC=EC•CD-EC•DF=2×8(4),
(1)+(4)得:AB•BC-EC•DF=22(5),
(2)+(3)得:AD•CD-CF•BE=26(6),
(5)-(6)得:EC•DF-CF•BE=4,
因CF=EQ,EC=FQ,所以FQ•DF-EQ•BE=4,
S四边形FQGD-S四边形BEQH=4,
设S四边形BEQH=x,S四边形FQGD=x+4,
S四边形FQGC
S四边形FQEC
=
GQ
QE
=
S四边形AGQH
S四边形BEQH
(在两个矩形中,长和宽如有一边对应相等,那么对应的另一边的比等于两个矩形面积的比),
设S四边形AGQH=y,
x+4
8×2
y
x

y=
x(x+4)
16

S四边形ABEG=2S△ABE=2×8=16,
又∵S四边形ABEG=S四边形AGQH+S四边形BEQH=
x(x+4)
16
+x=3×2=6,
解得:x1=4,x2=-24(不合题意舍去)
S矩形ABCD=S四边形AGQH+S四边形BEQH+S四边形ECFQ+S四边形FQGD=y+x+8*2+x+4=x(x+4)/16+x+8*2+x+4=4*(4+4)/16+4+16+4+4=30