如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=π3，△ADP为等边三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）若AB=2，BP=6，求点D到平面PBC的距离．

Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=(π)/(3)，△ADP为等边三角形．

（1）求证：AD⊥PB；
（2）若AB=2，BP=√(6)，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

（1）证明：取AD中点O，连结PO，BO．
侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形且∠DAB=(π)/(3)
∴PO⊥AD，BO⊥AD，
又PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，
∴PB⊥AD；
（2） 由题意，可得OB=OP=√(3)，
∵PB=√(6)，
∴PB²=OB²+OP²，
∴OP⊥OB
∵OB∩AD=O，
∴PO⊥平面ABCD
∴V_D-PBC=V_P-DBC=(1)/(3)×(1)/(2)×2×√(3)×√(3)=1，
∵AD∥BC，
∴PB⊥BC，
∴S_△PBC=(1)/(2)×√(6)×2=√(6)，
设点D到平面PBC的距离为h，则(1)/(3)×√(6)h=1，∴h=(√(6))/(2)．