如图，已知多面体A-BCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AE∥CF，AB=AE=1，AF⊥BE．（I）求证：AF⊥平面BDE；（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Question

如图，已知多面体A-BCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AE∥CF，AB=AE=1，AF⊥BE．
（I）求证：AF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵AE⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，
∴BD⊥AE，又∵AC⊂平面ACE，AE⊂平面ACE，AC∩AE=A，
∴BD⊥面EACF，∵AF⊂面EACF，
∴BD⊥AF．又AF⊥BE，BD⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，BD∩BE=B，
∴AF⊥面BDE．
（Ⅱ） 连结OE，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=AE=1，OB=OD=(√(3))/(2)．
∵AF⊥面BDE，EO⊂面BDE，
∴EO⊥AF，
∴∠AEO=90°-∠EAF，∠CAF=90°-∠EAF，
∴∠AEO=∠CAF．
∵tan∠AEO=(AO)/(AE)=(1)/(2)，∴tan∠CAF=(CF)/(AC)=(1)/(2)
∴FC=(1)/(2)，
∴V_B-ACFE=(1)/(3)S梯形ACFE•BO=(1)/(3)×(1)/(2)×(1+(1)/(2))×1×(√(3))/(2)=(√(3))/(8)．
设所求多面体的体积V=2V_B-ACFE=(√(3))/(4)．