（2014•广州二模）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=3，H是BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：AB⊥平面BCF；（3）求五

Question

（2014•广州二模）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=√(3)，H是BC的中点．
（1）求证：FH∥平面BDE；
（2）求证：AB⊥平面BCF；
（3）求五面体ABCDEF的体积．

Answer 1

（1）证明：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，连接OH，EO，
∵H是BC的中点，
∴OH∥AB，OH＝(1)/(2)AB＝1．…（1分）
∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，
∴EF∥AB．…（2分）
∵EF=1，
∴OH∥EF，OH=EF．
∴四边形EOHF是平行四边形．
∴EO∥FH，EO=FH．…（3分）
∵EO⊂平面BDE，FH⊄平面BDE，
∴FH∥平面BDE．…（4分）
（2）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，
由（1）知，EF∥MB，且EF=MB，
∴四边形EMBF是平行四边形．
∴EM∥FB，EM=FB．…（5分）
在Rt△BFC中，FB²+FC²=BC²=4，又FB=FC，得FB＝√(2)．
∴EM＝√(2)．…（6分）
在△AME中，AE＝√(3)，AM=1，EM＝√(2)，
∴AM²+EM²=3=AE²．
∴AM⊥EM．…（7分）
∴AM⊥FB，即AB⊥FB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC．…（8分）
∵FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，
∴AB⊥平面BCF．…（9分）
（3）连接EC，
在Rt△BFC中，FH＝(1)/(2)BC＝1，
∴EO=FH=1．
由（2）知AB⊥平面BCF，且EF∥AB，
∴EF⊥平面BCF．…（10分）
∵FH⊥平面ABCD，EO∥FH，
∴EO⊥平面ABCD．…（11分）
∴四棱锥E-ABCD的体积为V₁═(1)/(3)×1×22＝(4)/(3)．…（12分）
∴三棱锥E-BCF的体积为V2＝(1)/(3)•EF•S△BCF=(1)/(3)×1×(1)/(2)×(√(2))2＝

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作业帮用户 2017-10-16 举报

问题解析

（1）设AC与BD交于点O，则点O是AC的中点，连接OH，EO，通过证明四边形EOHF是平行四边形，证明FH∥平面EDB；
（2）先证明出四边形EMBF是平行四边形，推断出EM∥FB，EM=FB．进而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根据边长推断出AM²+EM²=3=AE²，进而证明出AM⊥EM．然后证明出四边形ABCD是正方形，进而推断出AB⊥BC．最后通过线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面BCF；
（3）求出四棱锥E-ABCD的体积为V₁═(1)/(3)×1×22＝(4)/(3)，三棱锥E-BCF的体积为V2＝(1)/(3)•EF•S△BCF=(1)/(3)×1×(1)/(2)×(√(2))2＝(1)/(3)，即可求出五面体ABCDEF的体积．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理，几何体的体积的求法，考查计算能力．

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