已知空间四边形OABC各边及对角线的长均为1,D、E分别是边OA,BC的中点,连接DE（1）求DE的长；（2）求异面直线OA和BC的距离；（3）若点F是OB的中点,求△DEF的面积；（4）求点O到平面ABC的距离.

Question

已知空间四边形OABC各边及对角线的长均为1,D、E分别是边OA,BC的中点,连接DE
（1）求DE的长；
（2）求异面直线OA和BC的距离；
（3）若点F是OB的中点,求△DEF的面积；
（4）求点O到平面ABC的距离.

Answer 1

（1）连接AE,OE,因空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,
D,E是OA,BC的中点,所以,OE=AE=根3/2
所以△AEO是等腰三角形．
所以DE⊥AO,
因此,DE=（勾股定理）=根2/2
（2）连接OE、AE
因为E为中点,所以OE、AE垂直于BC
所以面AOE垂直于面ABC
又AE=OE,所以DE垂直于AO
所以DE即为异面直线的距离
（3）过F作DE垂线,垂足为M
易知DF=EF=1/2 又DE=根2/2
所以FM=（勾股定理）=根2/4
所以面积=DE*FM/2=1/8
（4）由（2）知面AOE垂直于面ABC
过O作AE的垂线,垂足为N,ON即为所求
因为DE=根号2/2,AO=1,AE=根号3/2
所以AE*DN=AO*DE
所以DE=根号6/3