如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=14x2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，-1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连

Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y= (1)/(4) x ² 在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，-1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．
（1）求证：H点为线段AQ的中点；
（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；
（3）除P点外，直线PH与抛物线y= (1)/(4) x ² 有无其它公共点并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵A（0，1），B（0，-1），
∴OA=OB．（1分）
又∵BQ ∥ x轴，
∴HA=HQ；（2分）

（2）证明：①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP，
∵AR ∥ PQ，
∴∠RAH=∠PQH，
∴△RAH≌△PQH．（3分）
∴AR=PQ，
又∵AR ∥ PQ，
∴四边形APQR为平行四边形．（4分）
②设P（m， (1)/(4) m ² ），
∵PQ ∥ y轴，则Q（m，-1），则PQ=1+ (1)/(4) m ² ．
过P作PG⊥y轴，垂足为G．
在Rt△APG中，AP=

A G 2 +P G 2

=

((1)/(4) m 2 -1) 2 + m 2

=

((1)/(4) m 2 +1) 2

=(1)/(4) m 2 +1=PQ，
∴平行四边形APQR为菱形；（6分）

（3）设直线PR为y=kx+b，
由OH=CH，得H（ (m)/(2) ，0），P（m， (1)/(4) m ² ）．
代入得：

(m)/(2) k+b=0

km+b=(1)/(4) m 2

，
∴

k=(m)/(2)

b=-(1)/(4) m 2

．
∴直线PR为 y=(m)/(2) x-(1)/(4) m 2 ．（7分）
设直线PR与抛物线的公共点为（x， (1)/(4) x ² ），代入直线PR关系式得： (1)/(4) x ² - (m)/(2) x+ (1)/(4) m ² =0， (1)/(4) （x-m） ² =0，
解得x=m．得公共点为（m， (1)/(4) m ² ）．
所以直线PH与抛物线y= (1)/(4) x ² 只有一个公共点P．（8分）