如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个

Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x²的图象为l₁．
（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l₂，如图2，求抛物线l₂的函数解析式及顶点C的坐标；
（3）设P为y轴上一点，且S_△ABC=S_△ABP，求点P的坐标；
（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l₂上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c=-1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y=-x²+2x-3或y=-x²+4x-5等（满足条件即可）；（1分）

（2）设l₂的解析式为y=-x²+bx+c，联立方程组

-2=-1+b+c

-1=-9+3b+c

，
解得：b=(9)/(2)，c=-(11)/(2)，则l₂的解析式为y=-x²+(9)/(2)x-(11)/(2)．（3分）
点C的坐标为（(9)/(4)，-(7)/(16)）．（4分）

（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD=2，CF=(7)/(16)，BE=1，DE=2，DF=(5)/(4)，FE=(3)/(4)．
得：S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=(15)/(16)．（5分）
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=(1)/(2)x-(5)/(2)，则点G的坐标为（0，-(5)/(2)），设点P的坐标为（0，h），
①当点P位于点G的下方时，PG=-(5)/(2)-h，连接AP、BP，
则S_△ABP=S_△BPG-S_△APG=-(5)/(2)-h，又S_△ABC=S_△ABP=(15)/(16)，得h=-(55)/(16)，点P的坐标为（0，-(55)/(16)）．（6分）
②当点P位于点G的上方时，PG=(5)/(2)+h，同理h=-(25)/(16)，点P的坐标为（0，-(25)/(16)）．
综上所述所求点P的坐标为（0，-(55)/(16)）或（0，-(25)/(16)）（7分）

（4）作图痕迹如答图2所示．
若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画�