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已知函数y=f(x)定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=log2(x+12).(1)求f(x)的解析式;(2)若M={m|函数g(x)=|f(x)|-m(m∈R)有两个零点},求集合M.

题目详情
已知函数y=f(x)定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=log2(x+
1
2
).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若M={m|函数g(x)=|f(x)|-m(m∈R)有两个零点},求集合M.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵函数y=f(x)定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=log2(x+
1
2
),
∴x=0时,f(x)=0,
x<0,-f(x)=log2(−x+
1
2
),即f(x)=-log2(−x+
1
2
),
∴f(x)=
−log2(−x+
1
2
),x<0
0,x=0
log2(x+
1
2
),x>0
.(6分)
(2)画出函数y=|f(x)|的图象.

∵函数g(x)=|f(x)|-m(m∈R)有两个零点,
∴由图象可得:m≥1.
∴M={m|函数g(x)=|f(x)|-m(m∈R)有两个零点}={m|m≥1}.(6分)