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求过曲线y=-x2+1上的一点,使过该点的切线与这条曲线及x、y轴在第一象限围成图形的面积最小,最小面积是多少?
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求过曲线y=-x2+1上的一点,使过该点的切线与这条曲线及x、y轴在第一象限围成图形的面积最小,最小面积是多少?
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答案和解析
∵y=-x2+1=0,x=1(舍去x=-1<0)曲线与x轴交于A(1,0)
设切点P(p,1-p2),则0<p<1,
又y'=-2x
∴过点P的切线:y-(1-p2)=-2p(x-p),即y=-2px+1+p2
令x=0,y=1+p2;令y=0,x=(1+p2)/(2p)
∴切线与x轴,y轴分别交于B((1+p2)/(2p),0),C(0,1+p2)
∴△OBC面积S1=
|OB|•|OC|=
曲线与x轴,y轴于第一象限所围成面积S2=
(−x2+1)dx=
∴切线与这条曲线及x轴y轴于第一象限所围成面积S(p)=S1−S2=
−
∴S′(p)=
[2(1+p2)*2p*p−(1+p2)2]=
(1+p2)[4p2−(1+p2)]=
(3p2−p)
令S'(p)=0
解得:p=
(舍去p=−
)
又S″(p)=
,S″(
设切点P(p,1-p2),则0<p<1,
又y'=-2x
∴过点P的切线:y-(1-p2)=-2p(x-p),即y=-2px+1+p2
令x=0,y=1+p2;令y=0,x=(1+p2)/(2p)
∴切线与x轴,y轴分别交于B((1+p2)/(2p),0),C(0,1+p2)
∴△OBC面积S1=
1 |
2 |
(1+p2)2 |
4P |
曲线与x轴,y轴于第一象限所围成面积S2=
∫ | 1 0 |
2 |
3 |
∴切线与这条曲线及x轴y轴于第一象限所围成面积S(p)=S1−S2=
(1+p2)2 |
4P |
2 |
3 |
∴S′(p)=
1 |
4p2 |
1 |
4p2 |
1 |
4p2 |
令S'(p)=0
解得:p=
1 | ||
|
1 | ||
|
又S″(p)=
2p+1 |
4p2 |
1 | ||
|
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