求过曲线y=-x2+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x、y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？

Question

求过曲线y=-x²+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x、y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？

Answer 1

∵y=-x²+1=0，x=1（舍去x=-1＜0）曲线与x轴交于A（1，0）
  设切点P（p，1-p²），则0＜p＜1，
  又y'=-2x
∴过点P的切线：y-（1-p²）=-2p（x-p），即y=-2px+1+p²
  令x=0，y=1+p²；令y=0，x=（1+p²）/（2p）
∴切线与x轴，y轴分别交于B（（1+p²）/（2p），0），C（0，1+p²）
∴△OBC面积S₁=(1)/(2)|OB|•|OC|=((1+p2)2)/(4P)
   曲线与x轴，y轴于第一象限所围成面积S₂=

∫

1 0

(−x2+1)dx＝(2)/(3) 
∴切线与这条曲线及x轴y轴于第一象限所围成面积S(p)＝S1−S2＝((1+p2)2)/(4P)−(2)/(3)
∴S′(p)＝(1)/(4p2)[2(1+p2)*2p*p−(1+p2)2]＝(1)/(4p2)(1+p2)[4p2−(1+p2)]＝(1)/(4p2)(3p2−p)
  令S'（p）=0
  解得：p＝(1)/(√(3))（舍去p＝−(1)/(√(3))）
  又S″(p)＝(2p+1)/(4p2)，S″((1)/(√(作业帮用户2017-10-18举报问题解析此题的关键是要把所围图形的面积表达式写出来，然后就转化成函数的最值问题．在求函数所围图形面积的时候，将其看成三角形的面积与曲线在第一象限与坐标轴的面积之差会易于计算．名师点评本题考点：函数的最大值和最小值．考点点评：求所围图形的面积时，通常将其看成两个图形面积之差会简单些．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议))