为什么正三棱锥与补成的正方体有相同的外接球?为什么长方体的外接球的半径是体对角线的一半?正方体?

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为什么正三棱锥与补成的正方体有相同的外接球?
为什么长方体的外接球的半径是体对角线的一半?
正方体?

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答案和解析

正面想不通的时候就从反面想.
纠正：正三棱锥是指底面是正三角形,侧棱长都相等的三棱锥.如果底面边长和侧棱长不相等就不是正四面体.
应该是正四面体与补成的正方体有相同的外接球.
在正方体里可以找到正四面体,而且不止一个,那么它们的外接球当然是同一个(因为正四面体的4个顶点都在正方体的外接球上).
反过来,任给一个正四面体,把它补成正方体后,那么这个正方体中所有正四面体的外接球相同,自然最初给的那个也和补成的正方体的外接球是同一个.
在长方体的外接球中,关键是要找长方体中过球心的面,这个面即对角面,理由很简单,长方体的中心显然在对角面内,且对角面的四个顶点都在球上.球心到两个相对顶点的距离均为半径,即直径为体对角线的长,亦即长方体外接球的半径是体对角线的一半.
立体几何里的很多东西在高考时是不必证明的,有点约定俗成的意思,能理解就可以了.

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