已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是棱AA1，CC1的中点，（Ⅰ）求正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球的半径与外接球的半径之比；（Ⅱ）求四棱锥A-MB1ND的体积．

Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，M，N分别是棱AA₁，CC₁的中点，

（Ⅰ）求正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球的半径与外接球的半径之比；
（Ⅱ）求四棱锥A-MB₁ND的体积．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，内切球的直径是AB，外接球的直径是AC₁，
∴内切球半径r=(1)/(2)a，外接球半径R=(√(3))/(2)a，
∴内切球与外接球半径之比为1：√(3)．
（Ⅱ）连结MN，
则VA-MB1ND=VA-MB1N+VA-MNDVA-MB1N=VN-AMB1=(1)/(3)•a•S△AMB1，
∵S△AMB1=(1)/(2)•AM•B1A1=(1)/(2)•(1)/(2)a•a=(1)/(4)a2，
∴VA-MB1N=(1)/(3)•a•(1)/(4)a2=(1)/(12)a3，VA-MND．=VN-AMD=(1)/(3)•a•S△AMD1，
∵S△AMB1=(1)/(2)•AM•AD=(1)/(2)•(1)/(2)a•a=(1)/(4)a2，
∴VA-MND=(1)/(3)•a•(1)/(4)a2=(1)/(12)a3，
综上，四棱锥A-MB₁ND的体积VA-MB1ND=VA-MB1N+VA-MND=

作业帮用户 2017-10-26 举报

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