求证函数fx=a/a^2-1*(a^x-a^-x)(a大于0.不等于1)是增函数

Question

求证函数f x=a/a^2-1*(a^x-a^-x)(a大于0.不等于1)是增函数

Answer 1

直接利用定义：
设 x1f(x2)-f(x1)=[a/(a²-1)]*(a^x2 -a^x1)*[1 +1/(a^x1*a^x2)]；
若 a>1,则有 a/(a²-1)>0,a^x2>a^x1,故 f(x2)-f(x1)>0；
若 a<1,则由 a/(a²-1)<0,a^x20； 所以 f(x) 是增函数；
利用导致判断：
f'(x)=[a/(a²-1)]*lna*[a^x +a^(-x)]；
若 a>1,则 a/(a²-1)*lna>0,而 a^x +a^(-x)>0,所以 f'(x)>0,f(x) 是增函数；
若 a<1,仍有 a/(a²-1)*lna>0,f'(x)>0；所以 f(x) 是增函数；