如何不用均值不等式证明设X1,X2,.Xn为n个正数且X1·X2·X3····Xn=1则X1+X2+X3+···+Xn>=n要求是不能用均值不等式呀...问：那么怎样由x1+k>=2推到x1+x2+....+xn>=n?

Question

如何不用均值不等式证明
设X1,X2,.Xn为n个正数
且X1·X2·X3····Xn=1
则X1+X2+X3+···+Xn>=n
要求是不能用均值不等式呀...
问：那么怎样由x1+k>=2推到x1+x2+....+xn>=n?

Answer 1

(X1,X2,.Xn) > 0
X1*X2*X3*.*Xn = 1
令 K = X2*X3*.*Xn
故 X1 * K = 1 .(1)
可以假设 X1、K 是代数方程的根,则有：
(x - X1)(x - K) = 0
x^2 - (X1 + K)x + X1*K = 0 即：
x^2 - (X1 + K)x + 1 = 0
满足此方程具有实数解的条件为：
(X1 + K)^2 - 4*1 ≥ 0 .(X1 + K) ≥ 2
取等号时,X1 = K = 1
结合(1)式,K = X2*X3* . *Xn = 1
重复如上步骤,逐项剥离 X2*X3* . *Xn = 1 各个因子,可以得到结论：
X1 + X2 + X3 + . + Xn ≥ n
上述“重复”操作,可以使用数学归纳法严密证明之,此略.
补充：
1. 取等号的时候等于1,不是等号则关系为大于啊；2. K仅仅是后边因子之积的记录符号,没有确定数值.