f(x)在[0,1]内二阶可导且连续,且f(0)=f(1)=0证明在(0,1)内存在一点m使得f"(m)=2f'(m)/1-m

Question

f(x)在[0,1]内二阶可导且连续,且f(0)=f(1)=0证明在(0,1)内存在一点m使得f"(m)=2f'(m)/1-m

Answer 1

因为 f(0)=f(1)=0, 所以在(0,1)内存在一点n使得 f'(n)=0
考虑 g(x)=(1-x)^2 f'(x)
g(n)=g(1)=0
所以在(n,1)内存在一点m使得 g'(m)=0,
即：
-2（1-m)f'(m)+(1-m)^2f''(m)=0
f''(m)= 2f'(m)/(1-m)