（2013•沙市区三模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD⊥AB，垂足为点D，CF⊥AF，且CF=CD，AF交⊙O于点E，BE交AC于点M．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB=6，cos∠BCD=56，求AM的长．

Question

（2013•沙市区三模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD⊥AB，垂足为点D，CF⊥AF，且CF=CD，AF交⊙O于点E，BE交AC于点M．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB=6，cos∠BCD=(5)/(6)，求AM的长．

Answer 1

（1）证明：
连接OC交BE于N，
∵CF⊥AF，CD⊥AB，CF=CD，
∴∠FAC=∠DAC，
∴弧EC=弧BC，
∴OC⊥BE，
∵AB是直径，
∴∠EFC=∠FEN=∠ENC=90°，
∴∠FCO=360°-90°-90°-90°=90°，
即OC⊥CF，
∵OC为半径，
∴CF是⊙O的切线．

（2）∵AB是直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，∠BCD+∠CBA=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∵AB=6，cos∠BCD=(5)/(6)，
∴cos∠CAB=(AC)/(AB)=(5)/(6)，
∴AC=5，
由勾股定理得：BC=√(62−52)=√(11)，
∵弧CE=弧BC，
∴∠EAC=∠CBE=∠CAB，
即∠CBM=∠CAB，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CBM，
∴(BC)/(AC)=(CM)/(BC)，
∵BC=√(11)，AC=5，
∴CM=(11)/(5)，
∴AM=AC-CM=5-(11)/(5)=(14)/(5)．