甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12．（1）现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；（2）用ξ表示乙投篮10次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ和方差Dξ；（3）

Question

甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是(1)/(3)，(2)/(5)，(1)/(2)．
（1）现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；
（2）用ξ表示乙投篮10次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ和方差Dξ；
（3）若η=4ξ+1，求Eη和Dη．

Answer 1

（1）记“甲投篮1次投进”为事件A₁，“乙投篮1次投进”为事件A₂，“丙投篮1次投进”为事件A₃，
“3人都没有投进”为事件A．
则P（A₁）=(1)/(3)，P（A₂）=(2)/(5)，P（A₃）=(1)/(2)，
∴P（A）=(

.

A1

.

A2

.

A3

)
=P (

.

A1

)•(

.

A2

)•(

.

A3

)
=[1-P（A₁）]•[1-P（A₂）]•[1-P（A₃）]
=（1-(1)/(3)）（1-(2)/(5)）（1-(1)/(2)）
=(1)/(5)
∴3人都没有投进的概率为 (1)/(5)．
（2）随机变量ξ的可能值有0，1，2，3，…，10．
ξ～B（10，(2)/(5)），
P（ξ=k）=C₁₀^k（ (2)/(5)）^k（ (3)/(5)）^10-k（k=0，1，2，…，10），
Eξ=np=10×(2)/(5)=4．
方差Dξ=np（1-p）=10×(2)/(5)×(3)/(5)=(12)/(5)．
（3）若η=4ξ+1，由（2）得，
Eη=E（4ξ+1）=4Eξ+1=4×4+1=17
Dη=D（4ξ+1）=4²Dξ=16×(12)/(5)=(192)/(5)．