已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为-1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）

Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=（ax²+bx+c）e^x，
∴f′（x）=[ax²+（2a-b）x+（b+c）]e^x，（2分）
∵函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为-1．
∴

f(0)＝1

f′(0)＝−1

f′(1)＝0

，即

c＝1

b+c＝1

3a+2b+c＝0

，解得

a＝1

b＝−2

c＝1

所以f（x）的解析式为f（x）=（x²-2x+1）e^x．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=（x²-1）e^x，
假设当x＞1时，f（x）存在“保值区间”[m，n]（n＞m＞1）
因为当x＞1时，f'（x）=（x²-1）e^x＞0，所以f（x）在区间（1，+∞）上是增函数
∴

f(m)＝m

f(n)＝n

即

(m−1)2em＝m

(n−1)2en＝n

于是问题转化为（x-1）²e^x-x=0有两个大于1的不等实根． （6分）
现在考查函数h（x）=（x-1）²e^x-x（x≥1），h′（x）=（x²-1）e^x-1
令φ（x）=（x²-1）e^x-1，∴φ′（x）=（x²+2x-1）e^x，
当x＞1时，φ′（x）＞0
∴φ（x）在（1，+∞）上是增函数，即h′（x）在（1，+∞）上是增函数
∴h′（1）=-1＜0，，h′（2）=3e²-1＞0
∴存在唯一x₀∈（1，2），使得h′（x₀）=0（10分）
当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（1，x0）	x0	（x0，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以，h（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
∴h（x₀）＜h（1）=-1＜0
∵h（2）=e²-2＞0
∴当x＞1时，h（x）的图象与x轴有且只有一个交点
即方程（x-1）²e^x-x=0有且只有一个大于1的根，与假设矛盾
故当x＞1时，f（x）不存在“保值区间”．（13分）