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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D为AC的中点,AA1=AB=2.(1)求证:AB1∥平面BC1D;(2)若四棱锥B-DAA1C1的体积为2,求二面角C-BC1-D的正切值.

题目详情
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D为AC的中点,AA1=AB=2.
(1)求证:AB1∥平面BC1D;
(2)若四棱锥B-DAA1C1的体积为2,求二面角C-BC1-D的正切值.

▼优质解答
答案和解析
(1)证明AB1∥平面BC1D,可在平面BC1D内找到一条与AB1平行的直线,而D为AC中点,可联想连结B1C,得到其中点O,由三角形的中位线定理可得要找的平行线,则问题得证;
(2)由给出的四棱锥的体积,求出BC的长度,过D作BC的垂线DF,再由F作FG垂直于BC1,连结DG找出要求的二面角的平面角,然后通过解直角三角形得到二面角C-BC1-D的正切值.
(1)证明如图,

连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD,
∵四边形BCC1B1是平行四边形,
∴点O为B1C的中点.
∵D为AC的中点,∴OD为△AB1C的中位线.∴OD∥AB1
∵OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D,
∴AB1∥平面BC1D;
(2)【解析】
∵AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C,
∴平面ABC⊥平面AA1C1C且平面ABC∩平面AA1C1C=AC.
作BE⊥AC,垂足为E,则BE⊥平面AA1C1C,
∵AA1=AB=2,设BC=x,则

∴四棱锥B-DAA1C1的体积V=
==2.
解得,x=2.
所以D与E重合.
取BC中点F,连结DF,过F作FG⊥BC1与G,连结DG,
则∠DGF为二面角C-BC1-D的平面角.
由△BCC1∽△BGF可求得GF=
所以