如图F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.32B.12C.22D.3-1

Question

如图F₁，F₂分别是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）
A. (√(3))/(2)
B. (1)/(2)
C. (√(2))/(2)
D. √(3)-1

Answer 1

由题意知 A(-(c)/(2)，(√(3)c)/(2))，
把A代入椭圆 (x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1(a＞b＞0)，得 (c2)/(4a2)+(3c2)/(4b2)=1，
∴（a²-c²）c²+3a²c²=4a²（a²-c²），
整理，得e⁴-8e²+4=0，
∴e2=(8±√(64-16))/(2)=4±2√(3)，
∵0＜e＜1，∴e=√(3)-1．
故选D．