设向量a与b的夹角为60度,且a的模大于b的模,是否存在满足上述条件的向量a,b,使得|a+b|=2|a-b|?

Question

设向量a与b的夹角为60度,且a的模大于b的模,是否存在满足上述条件的向量a,b,使得|a+b|=2|a-b|?

Answer 1

不妨设向量a指向x轴正方向,则b与x轴正方向成60°角
设a=(x,0),b=(y,±√3y)
a+b=(x+y,±√3y)
a-b=(x-y,±√3y) （这里应该是减号在上面,加号在下面,打不出来,不过没影响）
若结论满足,则x^2+2xy+y^2+3y^2=4(x^2-2xy+y^2+3y^2)
3x^2-10xy+12y^2=0
△=100-3*4*12=-44＜0无解
∴不存在