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如图,已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D,以CD为直径的圆分别交BC,CA于点P、Q,求证:线段PQ平分△ABC的周长.
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![](https://www.zaojiaoba.cn/zhidao/pic/item/4bed2e738bd4b31c5fb6960984d6277f9f2ff8fe.jpg)
▼优质解答
答案和解析
证:如图,连接DB,DP,DQ,PQ.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac6eddc451da81cba61d817f5166d0160824318c.jpg)
∵∠ABD=∠ACD,∠EAC=∠ABC+∠ACB,
∴∠EAC=∠DBC+∠DCB,即:2∠DAC=∠DBC+∠DCB;
又∠DAC=∠DBC,∴∠DBC=∠DCB,故△DBC为等腰三角形.
∵DP⊥BC,则CP=
BC.
在圆内接四边形ABCD中,由托勒密定理得:AC•BD=BC•AD+AB•CD,
∵BD=CD,∴AC-AB=
=
,
又DQ⊥AC,∴△ADQ∽△BDP,
∴
=
,即AQ=
.
故AC-AB=2AQ,即AQ=
.
∴CQ+CP=(AC-AQ)+
BC=(AC−
)+
BC=
(AB+BC+CA).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac6eddc451da81cba61d817f5166d0160824318c.jpg)
∵∠ABD=∠ACD,∠EAC=∠ABC+∠ACB,
∴∠EAC=∠DBC+∠DCB,即:2∠DAC=∠DBC+∠DCB;
又∠DAC=∠DBC,∴∠DBC=∠DCB,故△DBC为等腰三角形.
∵DP⊥BC,则CP=
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在圆内接四边形ABCD中,由托勒密定理得:AC•BD=BC•AD+AB•CD,
∵BD=CD,∴AC-AB=
BC•AD |
BD |
2BP•AD |
BD |
又DQ⊥AC,∴△ADQ∽△BDP,
∴
AQ |
BP |
AD |
BD |
BP•AD |
BD |
故AC-AB=2AQ,即AQ=
AC−AB |
2 |
∴CQ+CP=(AC-AQ)+
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AC−AB |
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