探究：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线AC上的一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交BC、CD于点M、N，求PMPN的值；应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P

Question

探究：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线AC上的一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交BC、CD于点M、N，求 (PM)/(PN)的值；
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线AC上的一点，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、CD于点M、N，则 (PM)/(PN)=___．

Answer 1

探究： 如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠DCB=90°，AD=BC=4，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴∠PMC=∠PNC=90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴PC=CM，
∵∠PMC=∠B=90°，
∴PM∥AB，
∴△CPM∽△CAB，
∴(PM)/(AB)=(CM)/(CB)，即(PM)/(CM)=(AB)/(BC)，
∵AB=3，BC=4
∴(PM)/(PN)=(PM)/(CM)=(AB)/(BC)=(3)/(4)．

应用： 如图②中，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°，

∵Rt△PEF中，∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN
∴△PGM∽△PHN
∴(PM)/(PN)=(PG)/(PH)，
由条件可知，(PG)/(PH)=(AB)/(BC)=(3)/(4)，
∴(PM)/(PN)=(3)/(4)．
故答案为(3)/(4)．