（2014•嘉兴二模）如图在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面AA1C1C，∠BAA1=90°，∠CAA1=120°，AB=AC=AA1=2，D是棱CC1的中心点．（Ⅰ）求证：AD⊥A1B；（Ⅱ）求二面角D-A1B-A的正切值．

Question

（2014•嘉兴二模）如图在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABB₁A₁⊥平面AA₁C₁C，∠BAA₁=90°，∠CAA₁=120°，AB=AC=AA₁=2，D是棱CC₁的中心点．
（Ⅰ）求证：AD⊥A₁B；
（Ⅱ）求二面角D-A₁B-A的正切值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）平形四边形中，AA₁C₁CAC=AA₁=2，∠CAA₁=120°，
且D是棱CC₁的中点，
∴AD＝√(3)，且AD⊥AA₁．
又∵平面ABB₁A₁⊥平面AA₁C₁C，平面ABB₁A₁∩平面AA₁C₁C=AA₁，
∴AD⊥平面ABB₁A₁，
又A₁B⊂平面ABB₁A₁，∴AD⊥A₁B
（Ⅱ）过A作AE⊥A₁B，垂足为E，连接DE．
由（Ⅰ）已得AD⊥A₁B，∴A₁B⊥平面AED，
∴∠AED为二面角D-A₁B-A的平面角．
又AE＝√(2)，∴在Rt△AED中，tan∠AED＝(AD)/(AE)＝(√(3))/(√(2))＝(√(6))/(2)．
∴二面角D-A₁B-A的正切值是(√(6))/(2)．