在直角坐标系XOY中，已知点A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，-1），动点M满足AM•BM=m（CM•DM-|OA-OM|），其中m是参数（m∈R）（I）求动点M的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的

Question

在直角坐标系XOY中，已知点A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，-1），动点M满足

AM

•

BM

=m（

CM

•

DM

-|

OA

-

OM

|），其中m是参数（m∈R）
（I）求动点M的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的曲线类型；
（II）当动点M的轨迹表示椭圆或双曲线，且曲线与直线l：y=x+2交于不同的两点时，求该曲线的离心率的取值范围．

Answer 1

（I）设动点M的坐标为（x，y）
由题意得

AM

=（x-1，y），

BM

=（x+1，y）

CM

=（x，y-1），

DM

=（x，y+1），

OM

=（x，y）
∴

AM

•

BM

=x²-1+y²，

CM

•

作业帮用户 2017-11-06 举报

问题解析

（I）设M（x，y），利用题目中向量的坐标运算，求得向量的坐标后代入题中向量条件，化简即得轨迹方程，为了说明它是什么类型，必须对参数m进行讨论；
（II）将直线的方程代入圆锥曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根的判别式求得m的范围，再分类讨论：（1）m＞1且m≠2时，（2）当m＜-2时，分别求出该圆锥曲线的离心率e的取值范围即可．

名师点评

本题考点：

圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题主要考查了轨迹方程的问题、直线与圆锥曲线的综合问题、向量的坐标运算，考查分类讨论思想以及等价转化能力．

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