在台球桌矩形，ABCD上，放有两个球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打击球P使它撞在AB的M点反弹后撞到球Q，其路线记为P→M→Q；如果打击球Q，使它撞在AD的N点反弹后撞到球P，其路线

Question

在台球桌矩形，ABCD上，放有两个球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打击球P使它撞在AB的M点反弹后撞到球Q，其路线记为P→M→Q；如果打击球 Q，使它撞在AD的N点反弹后撞到球P，其路线记为Q→N→P．证明：P→M→Q与Q→N→P的路线长相等．

Answer 1

证明：如图，台球P撞AB于M反弹打到Q，满足∠PMB=∠QMA，即对P的路线是作P关于BA的对称点P ₁ ，连接P ₁ Q交 BA于 M点，则P→M→Q为球P的路线，
再作Q关于AD的对称点Q ₁ 连接PQ ₁ 交AD于N点，则Q→N→P为球Q的路线，


由对称性，知P ₁ A=PA，Q ₁ A=QA，
∠3=∠1=∠2=∠4，
PM+MQ=P ₁ M+MQ=P ₁ Q，
QN+NP=Q ₁ N+NP=Q ₁ P．
因此，要证P→M→Q与Q→N→P的路线长相等，即证明PM+MQ=QN+NP，也就是要证P ₁ Q=Q ₁ P，
∵∠P ₁ AQ=∠3+∠BAQ=∠2+∠BAQ=90°，
∠PAQ ₁ =∠PAD+∠4=∠PAD+∠1=90°，
∴∠P ₁ AQ=∠PAQ ₁ ，
在△P ₁ AQ和△PAQ ₁ 中，

P 1 A=PA

∠P 1 AQ=∠P AQ 1

Q 1 A=QA

，
∴△P ₁ AQ≌△PAQ ₁ （SAS），
∴P ₁ Q=Q ₁ P，
所以P→M→Q与Q→N→P的路线长相等．