如图，已知直线l1：y=-x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；（2）

Question

如图，已知直线l₁：y=-x+2与直线l₂：y=2x+8相交于点F，l₁、l₂分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l₁、l₂，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．
（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；
（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；
（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得

y＝−x+2

y＝2x+8

，
解得x=-2，y=4，
∴F点坐标：（-2，4）；
过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M，ME=MF=4，△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；

（2）∵点G是直线l2与x轴的交点，
∴当y=0时，2x+8=0，解得x=-4，
∴G点的坐标为（-4，0），则C点的横坐标为-4，
∵点C在直线l₁上，
∴点C的坐标为（-4，6），
∵由图可知点D与点C的纵坐标相同，且点D在直线l₂上，
∴点D的坐标为（-1，6），
∵由图可知点A与点D的横坐标相同，且点A在x轴上，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴DC=|-1-（-4）|=3，BC=6；

（3）∵点E是l₁与x轴的交点，
∴点E的坐标为（2，0），
S_△GFE=(1)/(2)GE•MF=(1)/(2)(2+4)×4=12，
若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，
当t秒时，移动的距离是1×t=t，则B点的坐标为（-4+t，0），A点的坐标为（-1+t，0）；

①在运动到t秒，若BC边与l₂相交设交点为N，AD与l₁相交设交点为K，那么-4≤-4+t≤-2，即0≤t≤2时．
N点的坐标为（-4+t，2t），K点的坐标为（-1+t，3-t），
s=S_△GFE-S_△GNB-S_△AEK=12-(1)/(2)t•2t−(1)/(2)(3−t)•(3−t)=-(3)/(2)t2−3t+(15)/(2)，
②在运动到t秒，若BC边与l₁相交设交点为N，AD与l₁相交设交点为K，那么-2＜-4+t且-1+t≤3，即2＜t＜4时．
N点的坐标为（-4+t，6-t），K点的坐标为（-1+t，3-t），
s=S_梯形BNKA=(1)/(2)[(6−t)+(3−t)]•3=− 3t+(27)/(2)，
③在运动到t秒，若BC边与l₁相交设交点为N，AD与l₁不相交，那么-4+t≤3且-1+t＞3，即4≤t≤6时．
N点的坐标为（-4+t，6-t），
s=S_△BNE=(1)/(2)[2−(−4+t)]•(6−t)=(1)/(2)t2−6t+18，
答：（1）F点坐标：（-2，4），∠GEF的度数是45°；
（2）矩形ABCD的边DC的长为3，BC的长为6；
（3）s关于t的函数关系式

s＝−(3)/(2)t2−3t+(15)/(2)(0≤t≤2)

s＝−3t+(27)/(2)(2＜t＜4)

s＝(1)/(2)t2−6t+18(4≤t≤6)

．