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(2006•江西)问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:①如图1,在正三角形ABC中,M,N分别是AC,AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN;②如图2,在
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(2006•江西)问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/32fa828ba61ea8d33294a1b5940a304e241f58c9.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828b6b954852fe1f4134960a5ac9.jpg)
①如图1,在正三角形ABC中,M,N分别是AC,AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN;
②如图2,在正方形ABCD中,M,N分别是CD,AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN.
然后运用类比的思想提出了如下命题;
③如图3,在正五边形ABCDE中,M,N分别是CD,DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.任务要求:
(1)请你从①,②,③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
①如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M,N分别是CD,DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立;(不要求证明)
②如图5,在正五边形ABCDE中,M,N分别是DE,AE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°时,试问结论BM=CN是否还成立.若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
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①如图1,在正三角形ABC中,M,N分别是AC,AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN;
②如图2,在正方形ABCD中,M,N分别是CD,AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN.
然后运用类比的思想提出了如下命题;
③如图3,在正五边形ABCDE中,M,N分别是CD,DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.任务要求:
(1)请你从①,②,③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
①如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M,N分别是CD,DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立;(不要求证明)
②如图5,在正五边形ABCDE中,M,N分别是DE,AE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°时,试问结论BM=CN是否还成立.若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
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答案和解析
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(1)选命题①
在图1中,∵△ABC是正三角形,
∴BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°.
∵∠BON=60°,
∴∠CBM+∠BCN=60°.
∵∠BCN+∠ACN=60°,
∴∠CBM=∠ACN.
∴△BCM≌△CAN(ASA).
∴BM=CN.
选命题②
在图2中∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°.
∵∠BON=90°,
∴∠CBM+∠BCN=90°.
∵∠BCN+∠DCN=90°,
∴∠CBM=∠DCN.
∴△BCM≌△CDN(ASA).
∴BM=CN.
选命题③
在图3中,∵五边形ABCDE是正五边形,
∴BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°.
∵∠BON=108°,
∴∠CBM+∠BCN=108°.
∵∠BCN+∠DCN=108°,
∴∠CBM=∠DCN.
∴△BCM≌△CDN(ASA).
∴BM=CN.
(2)①当∠BON=
时,结论BM=CN成立.
②BM=CN成立.
在图5中,连接BD、CE,
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE,∠CDE=∠DEA=108°.
∴∠BCD=∠DEA,
∴△BCD≌△CDE(SAS).
∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠ECD.
∵∠BON=108°,
∴∠OBC+∠OCB=108°.
∵∠OCB+∠OCD=108°,
∴∠OBC=∠OCD(即∠MBC=∠NCD).
∴∠MBC-∠DBC=∠NCD-∠ECD,即∠DBM=∠ECN.
∴∠CDE-∠BDC=∠DEA-∠CED,即∠BDM=∠CEN.
∴△BDM≌△CEN(ASA).
∴BM=CN.
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(1)选命题①
在图1中,∵△ABC是正三角形,
∴BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°.
∵∠BON=60°,
∴∠CBM+∠BCN=60°.
∵∠BCN+∠ACN=60°,
∴∠CBM=∠ACN.
∴△BCM≌△CAN(ASA).
∴BM=CN.
选命题②
在图2中∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°.
∵∠BON=90°,
∴∠CBM+∠BCN=90°.
∵∠BCN+∠DCN=90°,
∴∠CBM=∠DCN.
∴△BCM≌△CDN(ASA).
∴BM=CN.
选命题③
在图3中,∵五边形ABCDE是正五边形,
∴BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°.
∵∠BON=108°,
∴∠CBM+∠BCN=108°.
∵∠BCN+∠DCN=108°,
∴∠CBM=∠DCN.
∴△BCM≌△CDN(ASA).
∴BM=CN.
(2)①当∠BON=
(n−2)×180° |
n |
②BM=CN成立.
在图5中,连接BD、CE,
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE,∠CDE=∠DEA=108°.
∴∠BCD=∠DEA,
∴△BCD≌△CDE(SAS).
∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠ECD.
∵∠BON=108°,
∴∠OBC+∠OCB=108°.
∵∠OCB+∠OCD=108°,
∴∠OBC=∠OCD(即∠MBC=∠NCD).
∴∠MBC-∠DBC=∠NCD-∠ECD,即∠DBM=∠ECN.
∴∠CDE-∠BDC=∠DEA-∠CED,即∠BDM=∠CEN.
∴△BDM≌△CEN(ASA).
∴BM=CN.
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