已知函数f（x）=x-exa存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（）A.有3条B.有2条C.有1条D.不存在

Question

已知函数f（x）=x-e

(x)/(a)存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e^x相切，符合情况的切线l（　　）

A. 有3条

B. 有2条

C. 有1条

D. 不存在

Answer 1

函数f（x）=x-e(x)/(a)的导数为f′（x）=1-(1)/(a)e (x)/(a)，
依题意可知，f′（x）<0在（-∞，+∞）有解，
①a<0时，f′（x）<0 在（-∞，+∞）无解，不符合题意；
②a>0时，f′（x）>0即a>e (x)/(a)，lna>(x)/(a)，x<alna符合题意，则a>0．
易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1-(1)/(a)）x-1．
假设l与曲线y=e^x相切，设切点为（x₀，y₀），
即有e x0=1-(1)/(a)=（1-(1)/(a)）x₀-1，
消去a得ex0=ex0x0-1，设h（x）=e^xx-e^x-1，
则h′（x）=e^xx，令h′（x）>0，则x>0，
所以h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
当x→-∞，h（x）→-1，x→+∞，h（x）→+∞，
所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则ex0>1，
而a>0时，1-(1)/(a)<1，与ex0>1矛盾，所以不存在．
故选：D．